题目内容

已知等差数列{an}中,前n项和Sn满足:S10+S20=1590,S10-S20=-930.
(1)求数列{an}的通项公式以及前n项和公式;
(2)是否存在三角形同时具有以下两个性质,如果存在,请求出三角形的三边长和b值;如果不存在,请说明理由.
①三边是数列{an+b}中的连续三项,其中b∈N*;
②最小角是最大角的一半.
(1)由S10+S20=1590,S10-S20=-930,可得:S10=330,S20=1260.
由等差数列前n项和公式可得:10a1+45d=330,20a1+190d=1260,可得:a1=6,d=6,
所以an=6+(n-1)×6=6n,Sn=6n+3n(n-1);
(2)假设存在,三边为6n+b,6n+b+6,6n+b+12,设x=6n+b(x>6),则三边为x,x+6,x+12,
设最小角为α,则最大角为2α,∴cosα=
x2+36x+180
2(x+6)(x+12)
=
x+30
2(x+12)
,cos2α=
x2-12x-108
2x(x+6)
=
x-18
2x

∵cos2α=2cos2α-1,∴
x-18
2x
=2[
x+30
2(x+12)
]2-1
x-18
x
=
-(x-6)2+648
(x+12)2
,此方程无解,∴不存在.
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