题目内容
如图,已知四棱锥的底面为等腰梯形,∥,,垂足为,是四棱锥的高。
(Ⅰ)证明:平面 平面;
(Ⅱ)若,60°,求四棱锥的体积。
(Ⅰ)证明:平面 平面;
(Ⅱ)若,60°,求四棱锥的体积。
(1)由PH是四棱锥P-ABCD的高,得到ACPH,又ACBD,推出AC平面PBD.
故平面PAC平面PBD.
(2)
故平面PAC平面PBD.
(2)
试题分析:(1)因为PH是四棱锥P-ABCD的高。
所以ACPH,又ACBD,PH,BD都在平面PHD内,且PHBD=H.
所以AC平面PBD.
故平面PAC平面PBD.
(2)因为ABCD为等腰梯形,ABCD,ACBD,AB=.
所以HA=HB=.
因为APB=ADR=600
所以PA=PB=,HD=HC=1.
可得PH=.
等腰梯形ABCD的面积为S=AC x BD = 2+.
所以四棱锥的体积为V=x(2+)x=
点评:中档题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤,利用向量则能简化证明过程。本题(I)较为简单,(II)则体现了“一作、二证、三计算”的解题步骤。
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