Question

【题目】将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移 个单位长度后得到函数f（x）的图象
（1）写出函数f（x）的解析式；
（2）若对任意的x∈[﹣ ， ]，f2（x）﹣mf（x）﹣1≤0恒成立，求实数m的取值范围；
（3）求实数a和正整数n，使得F（x）=f（x）﹣a在[0，nπ]上恰有2017个零点．

Answer 1

【答案】
（1）解：把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），可得y=sin2x的图象；

再将所得的图象向左平移 个单位长度后得到函数f（x）=sin2（x+ ）=sin（2x+ ）的图象，

故函数f（x）的解析式为 f（x）=sin（2x+ ）．

（2）解：若对任意的x∈[﹣ ， ]，2x+ ∈[0， ]，f（x）=sin（2x+ ）∈[0，1]，f2（x）﹣mf（x）﹣1≤0恒成立，

令t=f（x）∈[0，1]，则g（t）=t2﹣mt﹣1≤0恒成立，故有g（0）=﹣1≤0，且 g（1）=﹣m≤0，解得m≥0．

（3）解：∵F（x）=f（x）﹣a在[0，nπ]上恰有2017个零点，故f（x）的图象和直线y=a在[0，nπ]上恰有2017个交点．

在[0，π]上，2x+ ∈[ ， ]．

①当a＞1，或a＜﹣1时，f（x）的图象和直线y=a在[0，nπ]上无交点．

②当a=1，或a=﹣1时，f（x）的图象和直线y=a在[0，π]仅有一个交点，

此时，f（x）的图象和直线y=a在[0，nπ]上恰有2017个交点，则n=2017．

③当﹣1＜a＜ ，或 ＜a＜1时，f（x）的图象和直线y=a在[0，π]上恰有2个交点，

f（x）的图象和直线y=a在[0，nπ]上有偶数个交点，不会有2017个交点．

④当a= 时，f（x）的图象和直线y=a在[0，π]上恰有3个交点，

此时，n=1008，才能使f（x）的图象和直线y=a在[0，nπ]上有2017个交点．

综上可得，当a=1，或a=﹣1时，n=2017；当a= 时，此时，n=1008．

【解析】（1）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）的解析式．（2）令t=f（x）∈[0，1]，则g（t）=t2﹣mt﹣1≤0恒成立，再根据二次函数的性质可得g（0）=﹣1≤0，且 g（1）=﹣m≤0，由此解得m的范围．（3）由题意可得f（x）的图象和直线y=a在[0，nπ]上恰有2017个交点，分类讨论，求得a、n的值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换(图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象)．