Question

【题目】已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=27，定义域为R的函数f（x）= 是奇函数．
（1）确定y=g（x），y=f（x）的解析式；
（2）若h（x）=kx﹣g（x）在（0，1）上有零点，求k的取值范围；
（3）若对任意的t∈（1，4），不等式f（2t﹣3）+f（t﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设g（x）=ax（a＞0且a≠1），则a3=27，∴a=3，∴g（x）=3x，…（1分）∴ ，

因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即 ，…（2分）

∴ ，又f（﹣1）=﹣f（1），∴ ；∴ ．

（2）解：由（1）知：g（x）=3x，又因h（x）=kx﹣g（x）在（0，1）上有零点，

从而h（0）h（1）＜0，即（0﹣1）（k﹣3）＜0，

∴k﹣3＞0，∴k＞3，

∴k的取值范围为（3，+∞）．

（3）解：由（1）知 ，

∴f（x）在R上为减函数

又因f（x）是奇函数，f（2t﹣3）+f（t﹣k）＞0

所以f（2t﹣3）＞﹣f（t﹣k）=f（k﹣t），…10分

因f（x）为减函数，由上式得：2t﹣3＜k﹣t，

即对一切t∈（1，4），有3t﹣3＜k恒成立，

令m（x）=3t﹣3，t∈[1，4]，易知m（x）在[1，4]上递增，所以ymax=3×4﹣3=9，

∴k≥9，

即实数k的取值范围为[9，+∞）．

【解析】（1）设g（x）=ax（a＞0且a≠1），根据g（3）=27，定义域为R的函数f（x）= 是奇函数即可解出；（2）h（x）=kx﹣g（x）在（0，1）上有零点，从而h（0）h（1）＜0，（3）对任意的t∈R不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，则f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2）恒成立，因此t2﹣2t＞k﹣2t2 ， 化为k＜3t2﹣2t在t∈R上恒成立k＜（3t2﹣2t）min ， 此函数为二次函数，求出最值即可