Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣a（1﹣ ）．
（1）若a=1，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≥0，对任意的x≥1均成立，求实数a的取值范围；
（3）求证：（ ）1008＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定义域是（0，+∞），a=1时，f（x）=lnx+ ﹣1，

f′（x）= ，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，

∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）；

（2）解：∵ln x﹣a（1﹣ ）≥0，

∴ln x﹣a ≥0，

∴a（x﹣1）≤xlnx，

①当x=1时，上式成立；

②当x＞1时，上式可化为a≤ ，

令f（x）= ，则f′（x）= ，

令g（x）=x﹣lnx﹣1，则g′（x）=1﹣ ＞0，

故g（x）在（1，+∞）上是增函数，

故g（x）＞g（1）=1﹣0﹣1=0，

故f′（x）＞0，

故f（x）= 在（1，+∞）上是增函数，

而 f（x）= = =1，

故a≤1；

综上所述，a≤1．

（3）证明：由（2）得a=1时，lnx﹣a（1﹣ ）≥0对任意的x≥1均成立，

∴lnx＞1﹣ ，（x＞1），

取x=1+ ，则ln（1+ ）＞1﹣ ，

即ln ＞ ，

∴ ＞ ，

∴（ ）1008＞ ．

【解析】（1）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）化简可得a（x﹣1）≤xlnx，从而讨论，当x＞1时，化为a≤ ，从而令f（x）= ，从而化为函数的最值问题；（3）根据lnx＞1﹣ ，（x＞1），取x=1+ ，代入整理即可．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．