Question

6．已知数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=1+$\frac{1}{a_n}$，若对任意的自然数n≥4，恒有$\frac{3}{2}$＜a_n＜2，则a的取值范围为（0，+∞）．

Answer 1

分析 根据数列的递推关系进行递推即可．

解答 解：∵a₁=a，a_n+1=1+$\frac{1}{a_n}$，
∴a₂=1+$\frac{1}{a}$=$\frac{a+1}{a}$，a₃=$\frac{2a+1}{a+1}$，a₄=$\frac{3a+2}{2a+1}$，
要使对任意的自然数n≥4，恒有$\frac{3}{2}$＜a_n＜2，
则只需要$\frac{3}{2}$＜1+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$＜2，
要即$\frac{3}{2}$＜a_n＜2，当且仅当它的前一项a_n-1满足1＜a_n-1＜2，
显然只需a₄∈（1，2）时，都有a_n∈（$\frac{3}{2}$，2），（n≥5）．
∴欲使1＜a₄＜2，则$\frac{3}{2}$＜a_n＜2，（n≥5），
∵a₄=$\frac{3a+2}{2a+1}$，
∴满足$\frac{3}{2}$＜$\frac{3a+2}{2a+1}$＜2，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3a+2}{2a+1}＞\frac{3}{2}}\\{\frac{3a+2}{2a+1}＜2}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞-\frac{1}{2}}\\{a＞0或a＜-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得a＞0，
即a的取值范围为（0，+∞），
故答案为：（0，+∞）

点评 本题主要考查递推数列的应用，结合不等式进行递推是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．