Question

19．已知函数f（x）=x²-2|x-a|（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）为偶函数，求a的值；
（Ⅱ）当a＞0时，若对任意的x∈[0，+∞），不等式f（x-1）≤2f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由偶函数的定义，化简整理，由恒成立思想可得a=0；
（Ⅱ）将不等式f（x-1）≤2f（x），化为（x-1）²-2|x-1-a|≤2x²-4|x-a|，即 4|x-a|-2|x-1-a|≤x²+2x-1对任意x∈[0，+∞）恒成立，对x讨论：（1）当0≤x≤a时，（2）当a＜x≤a+1时，（3）当x＞a+1时，去掉绝对值，由二次函数的最值求法，可得最小值，解不等式即可得到a的范围．

解答 解：（Ⅰ）由函数y=f（x）为偶函数可知，
对任何x都有f（-x）=f（x），
得：（-x）²-2|-x-a|=x²-2|x-a|，
即|x+a|=|x-a|对任何x恒成立，
平方得：4ax=0对任何x恒成立，
而x不恒为0，则a=0；         
 （Ⅱ）将不等式f（x-1）≤2f（x），
化为（x-1）²-2|x-1-a|≤2x²-4|x-a|，
即 4|x-a|-2|x-1-a|≤x²+2x-1（*）对任意x∈[0，+∞）恒成立，
（1）当0≤x≤a 时，将不等式（*）可化为 x²+4x+1-2a≥0，
对0≤x≤a上恒成立，则g（x）=x²+4x+1-2a 在（0，a]为单调递增，
只需g（x）_min=g（0）=1-2a≥0，得0＜a≤$\frac{1}{2}$；                   
（2）当 a＜x≤a+1时，将不等式（*）可化为x²-4x+1+6a≥0，
对a＜x≤a+1上恒成立，由（1）可知0＜a≤$\frac{1}{2}$，
则h（x）=x²-4x+1+6a 在（a，a+1]为单调递减，
只需h（x）_min=h（a+1）=a²+4a-2≥0 得：a≤-$\sqrt{6}$-2或a≥$\sqrt{6}$-2，
即：$\sqrt{6}$-2≤a≤$\frac{1}{2}$；
（3）当 x＞a+1时，将不等式（*）可化为x²+2a-3≥0对x＞a+1恒成立
则t（x）=x²+2a-3 在（a+1，+∞） 为单调递增，
由（2）可知 $\sqrt{6}$-2≤a≤$\frac{1}{2}$都满足要求．
综上：实数 的取值范围为：$\sqrt{6}$-2≤a≤$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数的单调性和奇偶性的运用，主要考查函数的单调性的运用：解不等式，不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．