Question

9．已知函数f（x）及其导数f′（x），若存在x₀，使得f（x₀）=f′（x₀），则称x₀是f（x）的一个“巧值点”下列函数中，有“巧值点”的是①③（填上正确的序号）
①f（x）=x²，②f（x）=e^-x，③f（x）=lnx．

Answer 1

分析 分别求函数的导数，根据条件f（x₀）=f′（x₀），确实是否有解即可．

解答 解：①中的函数f（x）=x²，f'（x）=2x．要使f（x）=f′（x），则x²=2x，解得x=0或2，可见函数有巧值点；
对于②中的函数，要使f（x）=f′（x），则e^-x=-e^-x，由对任意的x，有e^-x＞0，可知方程无解，原函数没有巧值点；
对于③中的函数，要使f（x）=f′（x），则lnx=1$\frac{1}{x}$，由函数f（x）=lnx与y=$\frac{1}{x}$的图象它们有交点，因此方程有解，原函数有巧值点；
故答案为：①③，

点评 本题主要考查导数的应用，以及函数的方程的判断，考查学生的运算能力．