题目内容

16.已知圆C:x2+y2-4x+2y+1=0关于直线L:x-2y+1=0对称的圆为 D.
(1)求圆D 的方程
(2)在圆C和圆 D上各取点 P,Q,求线段PQ长的最小值.

分析 (1)根据对称性得到圆心C和圆心D关于直线对称,得到圆心D的坐标,从而求出圆D的方程;(2)根据题意画出图形,表示出|PQ|,从而求出最小值.

解答 解:(1)圆C的方程为(x-2)2+(y+1)2=4,圆心:C(2,-1),半径:r=2,
设圆D的方程为(x-a)2+(y-b)2=4,则点(a,b)与(2,-1)关于L对称.
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b+1}{a-2}•\frac{1}{2}=-1}\\{\frac{a+2}{2}-2×\frac{b-1}{2}+1=0}\end{array}\right.$解得:$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=3}\end{array}\right.$,
圆D:x2+(y-3)2=4;
(2)圆心C$(2,-1)到L的距离为\sqrt{5},大于半径2$,
∴圆C与l相离,如图示:

∴CD=2$\sqrt{5}$,
∴PQ=CD-PC-DQ=2$\sqrt{5}$-4.

点评 本题考察了直线和圆的关系,圆的标准方程,考察最值问题,本题有一定的难度.

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