Question

1．已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．
（Ⅰ）求证：直线l与圆C必相交；
（Ⅱ）求直线l被圆C截得的弦长最短时直线l的方程以及最短弦长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据直线l方程得到直线l恒过M（3，1），求出|MC|距离小于半径，即可得到直线l与圆C必相交；
（Ⅱ）当直线l⊥直线MC时，直线l被圆C截得的弦长最短，求出直线MC的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为-1求出直线l斜率，根据M坐标确定出直线l方程，利用垂径定理，勾股定理求出最短弦长即可．

解答 （Ⅰ）证明：根据题意得：直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0恒过M（3，1）点，
圆心C（1，2），半径为5，
∵|CM|=$\sqrt{（3-1）^{2}+（1-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$＜5，
∴M为圆内，
则直线l与圆C必相交；
（Ⅱ）当直线l⊥直线MC时，直线l被圆C截得的弦长最短，
设直线MC解析式为y=kx+b，
把M与C坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=1}\\{k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{1}{2}$，b=$\frac{5}{2}$，
∴直线MC解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，
∴直线l斜率为2，
∵直线l过点M，
∴直线l方程为y-1=2（x-3），即2x-y-5=0；
根据题意得：最短弦长为2$\sqrt{{5}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=4$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了直线与圆的应用，涉及的知识有：圆的标准方程，恒过定点的直线方程，待定系数法求出一次函数解析式，垂径定理，以及勾股定理，根据题意确定出直线l恒过定点M是解本题的关键．