Question

5．已知tan$\frac{α+β}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，tanαtanβ=$\frac{13}{7}$，求下列各式的值：
（1）cos（α+β）；
（2）cos（α-β）．

Answer 1

分析 （1）变形cos（α+β）=$co{s}^{2}\frac{α+β}{2}$-$si{n}^{2}\frac{α+β}{2}$=$\frac{co{s}^{2}\frac{α+β}{2}-si{n}^{2}\frac{α+β}{2}}{co{s}^{2}\frac{α+β}{2}+si{n}^{2}\frac{α+β}{2}}$=$\frac{1-ta{n}^{2}\frac{α+β}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{α+β}{2}}$，即可得出；
（2）由$\frac{cos（α+β）}{cos（α-β）}$=$\frac{cosαcosβ-sinαsinβ}{cosαcosβ+sinαsinβ}$=$\frac{1-tanαtanβ}{1+tanαtanβ}$，即可得出．

解答 解：（1）∵tan$\frac{α+β}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴cos（α+β）=$co{s}^{2}\frac{α+β}{2}$-$si{n}^{2}\frac{α+β}{2}$=$\frac{co{s}^{2}\frac{α+β}{2}-si{n}^{2}\frac{α+β}{2}}{co{s}^{2}\frac{α+β}{2}+si{n}^{2}\frac{α+β}{2}}$=$\frac{1-ta{n}^{2}\frac{α+β}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{α+β}{2}}$=$\frac{1-（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}{1+（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}$=-$\frac{1}{5}$；
（2）∵tanαtanβ=$\frac{13}{7}$，
∴$\frac{cos（α+β）}{cos（α-β）}$=$\frac{cosαcosβ-sinαsinβ}{cosαcosβ+sinαsinβ}$=$\frac{1-tanαtanβ}{1+tanαtanβ}$=$\frac{1-\frac{13}{7}}{1+\frac{13}{7}}$=-$\frac{3}{10}$，
∴cos（α-β）=$-\frac{10}{3}×（-\frac{1}{5}）$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了两角和差的余弦公式、“弦化切”、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．