题目内容
8．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，设F为椭圆的一个焦点，P是椭圆上一点，一条平行于x轴的直线l交椭圆于A，B，求证：AF+BF为定值．分析 设F1为椭圆的另一焦点，可知：y轴将线段|AB|，|FF1|垂直平分．根据对称性，可知AFF1B四点构成等腰梯形，利用其性质与椭圆的定义即可证明．
解答 证明：设F1为椭圆的另一焦点，
可知：y轴将线段|AB|，|FF1|垂直平分．
根据对称性，可知AFF1B四点构成等腰梯形，
∴对角线相等，即|AF1|=|BF|，
∴|AF|+|BF|=|AF|+|AF1|=2a，为定值．
点评 本题考查了椭圆的定义及其性质、等腰梯形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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| A． | $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ | B． | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | 2 |