Question

6．已知函数f（x）=sin⁴x．
（1）记g（x）=f（x）+f（$\frac{π}{2}$-x），求g（x）在[$\frac{π}{6}，\frac{3π}{8}$]上的最大值与最小值；
（2）求f（$\frac{π}{180}$）+f（$\frac{2π}{180}$）+f（$\frac{3π}{180}$）+…f（$\frac{88π}{180}$）+f（$\frac{89π}{180}$）的值．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）解析式，并化简，求最值；
（2）由已知得到f（x）的周期，然后求值．

解答 解：（1）f（x）=sin⁴x．所以g（x）=f（x）+f（$\frac{π}{2}$-x）=sin⁴x+sin⁴（$\frac{π}{2}$-x）=sin⁴x+cos⁴x=（sin²x+cos²x）²-2sin²xcos²x=1-$\frac{1}{2}$sin²2x=$\frac{3}{4}+\frac{cos4x}{4}$，
x∈[$\frac{π}{6}，\frac{3π}{8}$]，4x∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{3π}{2}$]，所以cos4x∈[-1，0]，所以g（x）最大值为$\frac{3}{4}$，最小值为$\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$；
（2）由（1）可得f（$\frac{π}{180}$）+f（$\frac{2π}{180}$）+f（$\frac{3π}{180}$）+…f（$\frac{88π}{180}$）+f（$\frac{89π}{180}$）
=[f（$\frac{π}{180}$）+f（$\frac{89π}{180}$）]+[f（$\frac{2π}{180}$）+f（$\frac{88π}{180}$）]+…+f（$\frac{45π}{180}$）
=44×$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{4}$（cos$\frac{π}{45}$+cos$\frac{2π}{45}$+cos$\frac{3π}{45}$+…+cos$\frac{44π}{45}$）+$si{n}^{4}\frac{π}{4}$
=33++0+$\frac{1}{4}$=33$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了三角函数解析式的化简以及求三角函数值，关键是利用诱导公式化简．发现规律．