题目内容
【题目】设函数,其中
.
(Ⅰ)若函数在
处有极小值
,求
的值;
(Ⅱ)若,设
,求证:当
时,
;
(Ⅲ)若,对于给定
,其中
,若
.求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)
.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由题意得到关于实数的方程组,求解方程组可得
;
(Ⅱ)首先确定函数取得最值时自变量的位置,然后结合题意进行证明即可得出结论;
(Ⅲ)由题意分类讨论可得的取值范围是
.
试题解析:
(Ⅰ) ,由已知的
,
解得或
.
当时,
是
极小值
当时,
是
极大值,故舍去
所以
(Ⅱ)
因为,所以函数
的对称轴
位于区间
之外,
于是, 在
上的最大值在两端点处取得,
即.
于是=
≥
,
故.
(Ⅲ)
所以,当时,
,所以
在
上单调递减.
①当时,
,
,
,
因为在
上单调递减,所以
,
且.
因此, 成立,
符合题意.
②当时,
,
,
于是
所以成立,
不符合题意
③时,
,
,
.
所以不符合题意.
综上, .
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