题目内容
【题目】设,
,
,
,
是5个正实数(可以相等).
证明:一定存在4个互不相同的下标,
,
,
,使得
.
【答案】证明见解析.
【解析】试题分析:可设,则
,
,
,
,
都属于区间
,由抽屉原理知,区间
或
中一定有一个区间至少包含其中的3个数,5个分数的分子、分母的下标特征知,围成的圆圈中,任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同.
、
对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求.因此,结论成立.
试题解析:不妨设,考虑以下5个分数:
,
,
,
,
,①
它们都属于区间.
把区间分成两个区间:
和
,由抽屉原理知,区间
或
中一定有一个区间至少包含①中的3个数(记这3个数依次为
,
,
).
将①中的5个数依次围成一个圆圈,则①中任意三个数中都有两个数是相邻的(与
是相邻的),即
,
,
中至少有两个数是相邻的.假设
与
相邻,则
.
另一方面,由①中5个分数的分子、分母的下标特征知,围成的圆圈中,任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同.
于是, 、
对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求.因此,结论成立.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目