题目内容

【题目】已知椭圆 的左、右焦点分别为F1、F2 , 短轴两个端点为A、B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.
(1)求椭圆的方程;
(2)若C、D分别是椭圆长的左、右端点,动点M满足MD⊥CD,连接CM,交椭圆于点P.证明: 为定值.
(3)在(2)的条件下,试问x轴上是否存异于点C的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)解:a=2,b=c,a2=b2+c2,∴b2=2;

∴椭圆方程为


(2)解:C(﹣2,0),D(2,0),设M(2,y0),P(x1,y1),

直线CM: ,代入椭圆方程x2+2y2=4,

∵x1=﹣ ,∴ ,∴ ,∴

(定值)


(3)解:设存在Q(m,0)满足条件,则MQ⊥DP

则由 ,从而得m=0

∴存在Q(0,0)满足条件


【解析】(1)由题意知a=2,b=c,b2=2,由此可知椭圆方程为 .(2)设M(2,y0),P(x1 , y1), ,直线CM: ,代入椭圆方程x2+2y2=4,得 ,然后利用根与系数的关系能够推导出 为定值.(3)设存在Q(m,0)满足条件,则MQ⊥DP. ,再由 ,由此可知存在Q(0,0)满足条件.

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