题目内容
【题目】已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值,且在x=0处的切线的斜率为﹣3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求过点A(2,2)的切线方程.
【答案】
(1)解:函数f(x)=ax3+bx2+cx的导数为f'(x)=3ax2+2bx+c,
依题意 ,
又f'(0)=﹣3即c=﹣3
∴a=1,b=0,
∴f(x)=x3﹣3x
(2)解:设切点为(x0,x03﹣3x0),
∵f'(x)=3x2﹣3∴切线的斜率为f'(x0)=3x02﹣3,
∴切线方程为y﹣(x03﹣3x0)=(3x02﹣3)(x﹣x0),
又切线过点A(2,2),
∴2﹣(x03﹣3x0)=(3x02﹣3)(2﹣x0),
∴2x03﹣6x02+8=0,即为2(x0+1)(x0﹣2)2=0,
解得x0=﹣1或2,
可得过点A(2,2)的切线斜率为0或9,
即有过点A(2,2)的切线方程为y﹣2=0或y﹣2=9(x﹣2),
即为y﹣2=0或9x﹣y﹣16=0
【解析】(1)由函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值,且在x=0处的切线的斜率为﹣3,求导,可得±1是f′(x)=0的两根,且f′(0)=﹣3,解方程组即可求得,a,b,c的值,从而求得f(x)的解析式;(2)设切点,求切线方程,得到2=﹣2x03+6x02﹣6,解方程可得x0 , 运用点斜式方程,进而得到所求切线的方程.
【考点精析】解答此题的关键在于理解基本求导法则的相关知识,掌握若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导.
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【题目】PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,根据现行国家标准GB3095﹣2012,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75毫克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2012年全年每天的PM2.5监测值数据中随机地抽取10天的数据作为样本,监测值频数如表所示:
PM2.5日均值 | [25,35] | (35,45] | (45,55] | (55,65] | (65,75] | (75,85] |
频数 | 3 | 1 | 1 | 1 | 1 | 3 |
(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽取3天,求恰有1天空气质量达到一级的概率;
(2)从这10天的数据中任取3天数据,记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求ξ的分布列;
(3)以这10天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量状况,则一年(按366天算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级.(精确到整数)