题目内容
【题目】已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为﹣3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求过点A（2，2）的切线方程．
【答案】
（1）解：函数f（x）=ax3+bx2+cx的导数为f'（x）=3ax2+2bx+c，
依题意 
，
又f'（0）=﹣3即c=﹣3
∴a=1，b=0，
∴f（x）=x3﹣3x
（2）解：设切点为（x0，x03﹣3x0），
∵f'（x）=3x2﹣3∴切线的斜率为f'（x0）=3x02﹣3，
∴切线方程为y﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（x﹣x0），
又切线过点A（2，2），
∴2﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（2﹣x0），
∴2x03﹣6x02+8=0，即为2（x0+1）（x0﹣2）2=0，
解得x0=﹣1或2，
可得过点A（2，2）的切线斜率为0或9，
即有过点A（2，2）的切线方程为y﹣2=0或y﹣2=9（x﹣2），
即为y﹣2=0或9x﹣y﹣16=0
【解析】（1）由函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为﹣3，求导，可得±1是f′（x）=0的两根，且f′（0）=﹣3，解方程组即可求得，a，b，c的值，从而求得f（x）的解析式；（2）设切点，求切线方程，得到2=﹣2x03+6x02﹣6，解方程可得x0 ， 运用点斜式方程，进而得到所求切线的方程．
【考点精析】解答此题的关键在于理解基本求导法则的相关知识，掌握若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．
【题目】PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，根据现行国家标准GB3095﹣2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75毫克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2012年全年每天的PM2.5监测值数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如表所示：
PM2.5日均值 | [25，35] | （35，45] | （45，55] | （55，65] | （65，75] | （75，85] |
频数 | 3 | 1 | 1 | 1 | 1 | 3 |
（1）从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽取3天，求恰有1天空气质量达到一级的概率；
（2）从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列；
（3）以这10天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量状况，则一年（按366天算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．（精确到整数）
