Question

【题目】在等差数列{an}中，a1+a3=10，d=3．令bn= ，数列{bn}的前n项和为Tn ．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前n项和Tn；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1 ， Tm ， Tn成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设等差数列{an}的公差为d，由a1+a3=10，d=3，得

，

解得a1=2，

所以an=2+3（n﹣1）=3n﹣1（n∈N+）

（2）解：由（1）知，an=3n﹣1．

所以bn= = = = （ ﹣ ），

∴Tn= （ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）= （ ﹣ ）=

（3）解：假设否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列，

由（2）知，T1= ，Tm= ，Tn= ，

因为T1，Tm，Tn成等比数列，

所以（ ）2= × ，即 = ，

整理，得

n（﹣3m2+6m+2）=5m2．（*）

①当m=2时，（*）式可化为2n=20，所以n=10．

②当m≥3时，﹣3m2+6m+2=﹣3（m﹣1）2+5≤﹣7＜0．

又因为5m2＞0，

所以（*）式可化为n= ＜0，

所以此时n无正整数解．

综上可知，存在满足条件的正整数m，n，此时m=2，n=10

【解析】（1）根据等差数列的通项公式求得首项a1的值，则易求数列{an}的通项公式；（2）利用拆项法求得数列{bn}的通项公式，则易求Tn；（3）假设否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1 ， Tm ， Tn成等比数列，结合等比数列的性质得到 = ，从而求得符合条件的m、n的值．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．