题目内容
【题目】已知集合是满足下列性质的函数
的全体:存在实数
,对于定义域内的任意
,均有
成立,称数对
为函数
的“伴随数对”.
(1)判断函数是否属于集合
,并说明理由;
(2)试证明:假设为定义在
上的函数,且
,若其“伴随数对”
满足
,求证:
恒成立;
(3)若函数,求满足条件的函数
的所有“伴随数对”.
【答案】(1);见解析(2)见解析;(3)
,
,
【解析】
(1)根据题意利用恒成立,直接解出;(2)把
替换成
,根据
成立,得出结论;(3)
,利用三角函数化简得到
对任意的
都成立,所以
,根据题意推出
,再求出结论.
解:(1)由及
,
可得,即为
对
成立,
需满足条件,解得
,
,因
,
存在,所以
.
(2)证明:由,对于定义域内的任意
,均有
成立,
所以把替换成
,
成立,即
,因为
,所以
,
所以,由
的任意性及其
存在,所以
恒成立.
(3)由,得
,
展开得,
所以,
即对任意的
都成立,所以
,
即,由于
(当且仅当
时,等号成立),
所以,又因为
,故
.
当时,
,
;
当时,
,
.
故函数的“伴随数对”为
和
,
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:
日期 | 1月10日 | 2月10日 | 3月10日 | 4月10日 | 5月10日 | 6月10日 |
昼夜温差 x (℃) | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 | 6 |
就诊人数 y(个) | 22 | 25 | 29 | 26 | 16 | 12 |
该兴趣小组确定的研究方案是:先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程,再用1月和6月的2组数据进行检验.
(1)请根据2、3、4、5月的数据,求出y关于x的线性回归方程
;
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?
(参考公式: ,
)
参考数据:11×25+13×29+12×26+8×16=1092,112+132+122+82=498.