题目内容

【题目】设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，A1，A2分别为这个双曲线的左、右顶点，P为双曲线右支上的任意一点．求证：以A1A2为直径的圆既与以PF2为直径的圆外切，又与以PF1为直径的圆内切．

【答案】见解析

【解析】

分别求出以A1A2为直径的圆、以PF1为直径的圆和以PF2为直径的圆的圆心和半径，运用中位线定理和双曲线的定义，结合两圆相切的条件即可得证．

如图，以A1A2为直径的圆的圆心为O，半径为a.令M，N分别是PF2，PF1的中点．由三角形中位线的性质，得|OM|＝|PF1|.

又根据双曲线的定义，得 |PF1|＝2a＋|PF2|.从而有|OM|＝ (2a＋|PF2|)＝a＋|PF2|.这表明，两圆的圆心距等于两圆半径之和，故以A1A2为直径的圆与以PF2为直径的圆外切．

同理，得|ON|＝|PF2|＝ (|PF1|－2a)＝|PF1|－a.这表明两圆的圆心距等于两圆半径之差，故以A1A2为直径的圆与以PF1为直径的圆内切．

练习册系列答案
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A.
B.
C.-
D.-

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