题目内容
【题目】已知正项数列{an}的前n项和为Sn ， 且 
是1与an的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Tn为数列{ 
}的前n项和，证明： 
≤Tn＜1（n∈N*）．
【答案】
（1）解： n=1时，a1=1
n≥2时，由 
是1与an的等差中项，
∴ 
，
又 
，
两式相减得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0
∵an＞0
∴an﹣an﹣1=2
∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，即an=2n﹣1．
（2）解：∵ 
= 
= 
∴Tn= 
= 
．
∵n∈N+
∴Tn＜1
又∵Tn递增．
∴ 
，
综上， 
成立
【解析】（1）由等差中项，列出Sn与an的关系式，根据 
求解出数列{an}的通项公式．（2）数列{ }的结构分析，采用裂项相消求数列前n项和Tn ， 结合数列单调性及简单的放缩法，求得范围．
【考点精析】利用数列的前n项和和数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．
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