题目内容
【题目】如图,在平行四边形中,
,分别过点
作直线
,
垂直平面
,且
,
.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求二面角的平面角的正弦值.
【答案】(I)详见解析;(II).
【解析】试题分析:(Ⅰ)设.以点
为原点,
分别为
轴,过点
平行于
的直线为
轴,建立空间直角坐标系,通过证明
,
,可得
平面
.
(II)由(Ⅰ)可求平面的法向量和平面
的法向量,即可得二面角
的平面角的正弦值.
试题解析:
(Ⅰ)设.
由可知,平行四边形
为菱形,
∴.则以点
为原点,
分别为
轴,
过点平行于
的直线为
轴,建立空间直角坐标系,
那么,
,
,
,
∵,
,
,
易得,
,
∴,
,又
,
∴平面
.
(II)由(Ⅰ)知, ,
,
,
,设
是平面
的一个法向量,则
,
,取
,得
.
设是平面
的一个法向量,则
,
,取
,得
.
则,
即得二面角的平面角的正弦值为
.
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