题目内容
【题目】已知函数f(x)=﹣x3+x2(x∈R),g(x)满足g′(x)= (a∈R,x>0),且g(e)=a,e为自然对数的底数.
(Ⅰ)已知h(x)=e1﹣xf(x),求h(x)在(1,h(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若存在x∈[1,e],使得g(x)≥﹣x2+(a+2)x成立,求a的取值范围;
(Ⅲ)设函数F(x)= ,O为坐标原点,若对于y=F(x)在x≤﹣1时的图象上的任一点P,在曲线y=F(x)(x∈R)上总存在一点Q,使得 <0,且PQ的中点在y轴上,求a的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)∵h(x)=(﹣x3+x2)e1﹣x,h'(x)=(x3﹣4x2+2x)e1﹣x,
∴h(1)=0,h'(1)=﹣1,
∴h(x)在(1,h(1))处的切线方程为:y=﹣(x﹣1),
即y=﹣x+1;
(Ⅱ)∵ ,
∴g(x)=alnx+c,
∴g(e)=alne+c=a+c=ac=0,从而g(x)=alnx,
由g(x)≥﹣x2+(a+2)x,得:(x﹣lnx)a≤x2﹣2x.
由于x∈[1,e]时,lnx≤1≤x,且等号不能同时成立,
所以lnx<x,x﹣lnx>0.
从而 ,为满足题意,必须 .
设 ,x∈[1,e],
则 ;
∵x∈[1,e],
∴x﹣1≥0,lnx≤1,x+2﹣2lnx>0,
从而t'(x)≥0,
∴t(x)在[1,e]上为增函数,
所以 ,
从而 .
(Ⅲ)设P(t,F(t))为y=F(x)在x≤﹣1时的图象上的任意一点,则t≤﹣1,
∵PQ的中点在y轴上,
∴Q的坐标为(﹣t,F(﹣t)),
∵t≤﹣1,∴﹣t≥1,
所以P(t,﹣t3+t2),Q(﹣t,aln(﹣t)),
.
由于 ,
所以a(1﹣t)ln(﹣t)<1.
当t=﹣1时,a(1﹣t)ln(﹣t)<1恒成立,
∴a∈R;
当t<﹣1时, ,
令 (t<﹣1),
则
∵t<﹣1,∴t﹣1<0,tln(﹣t)<0,
∴φ'(t)>0,
从而 在(﹣∞,﹣1)上为增函数,
由于t→﹣∞时, ,
∴φ(t)>0,∴a≤0
综上可知,a的取值范围是(﹣∞,0].
【解析】(1)对h(x)求导,根据切线方程公式得出在(1,h(1))的切线方程;(2)设出g(x)的解析式,根据g(e)=a,求出g(x),进行参变分离,讨论出a的最大值;(3)设P(t,F(t))为y=F(x)在x≤-1时的图象上的任意一点,则a(1-t)ln(-t)<1,对t进行讨论,综合求出a的取值范围.