题目内容
已知等比数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)在与之间插入个数连同与按原顺序组成一个公差为()的等差数列.
①设,求数列的前和;
②在数列中是否存在三项(其中成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由.
(1);(2)①②不存在.
解析试题分析:(1)要看清问题的实质就是,那么这就是我们熟悉的问题,利用,转化为和公比的式子,可解出,再由题目条件得出关于首项的关系式,求出等比数列的首项即可求出通项公式;(2)①由新数列的的首首项和末项及项数可求出公差,根据其表达式的结构特征,再考虑求,本题可用错位相减法;②此类问题,一般先假设存在符合条件的数列,解出来则存在,如果得到矛盾的结果,则假设错误,这样的数列则不存在.
试题解析:(1)设数列的公比为,由已知可得, 1分
由已知,,所以,
两式相减得,,解得, 3分
又,解得, 5分
故 6分
(2)由(1),知 7分
①, 8分
,
10分
故 11分
②假设在数列中存在三项(其中成等差数列)成等比数列,
则,即. 13分
因为成等差数列,所以,(*)代入上式得: ,(**)
由(*),(**),得,这与题设矛盾. 15分
所以,在数列中不存在三项(其中成等差数列)成等比数列. 16分
考点:等差数列与等比数列、错位相减法.