题目内容
【题目】如图,四边形ABCD为矩形,DA⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,BF⊥平面ACE于点F,且点F在CE上.
(1)求证:AE⊥BE;
(2)求三棱锥C﹣ADE的体积.
【答案】
(1)证明:∵DA⊥平面ABE,BC∥DA,
∴BC⊥平面ABE,
∵AE平面ABE,∴AE⊥BC,
∵BF⊥平面ACE于点F,AE平面ACE,
∴AE⊥BF,
∵BC∩BF=B,
BC平面BEC,BF平面BEC,∴AE⊥平面BEC,
∵BE平面BEC,∴AE⊥BE
(2)解:作EH⊥AB,
∵DA⊥平面ABE,EH平面ABE,∴AD⊥EH,
AD∩AB=A,AD平面ABCD,AB平面ABCD,
∴EH⊥平面ABCD,
由(1)得AE⊥BE,AE=EB=BC=2,
AB=2 ,EH= ,
∴三棱锥C﹣ADE的体积VC﹣ADE=VE﹣ACD= = = .
【解析】(1)推导出BC⊥平面ABE,从而AE⊥BC,再求出AE⊥BF,从而AE⊥平面BEC,由此能证明AE⊥BE.(2)作EH⊥AB,三棱锥C﹣ADE的体积VC﹣ADE=VE﹣ACD , 由此能求出结果.
【考点精析】关于本题考查的直线与平面垂直的性质,需要了解垂直于同一个平面的两条直线平行才能得出正确答案.
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