Question

【题目】设a，b，c∈R，证明：a2+b2+c2≥ab+ac+bc．

Answer 1

【答案】证明：方法一、由a2+b2≥2ab，
a2+c2≥2acb2+c2≥2bc，
相加可得：2a2+2b2+2c2≥2ab+2ac+2bc，
所以a2+b2+c2≥ab+ac+bc（当且仅当a=b=c取得等号）；
方法二、由a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc= （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）
= [（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]≥0，
则a2+b2+c2≥ab+ac+bc（当且仅当a=b=c取得等号）．
【解析】方法一、运用重要不等式a2+b2≥2ab，累加即可得证；
方法二、运用作差比较法，由完全平方式非负，即可得证．
【考点精析】关于本题考查的不等式的证明，需要了解不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等才能得出正确答案．