Question

【题目】函数f(x)对任意的m，n∈R都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x＞0时，恒有f(x)＞1.

(1)求证：f(x)在R上是增函数；

(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)＜2

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）a∈(－3,2)

【解析】

（1）设且，根据题意得，进而得出，即，即可得到函数的单调性；

（2）由题意，设，求得，又由，得出，则不等式可转化为，再利用函数的单调性，转化为，即可求解.

(1)证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，

∴x2－x1＞0，∵当x＞0时，f(x)＞1，

∴f(x2－x1)＞1.

f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，

∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1＞0f(x1)＜f(x2)，

∴f(x)在R上为增函数.

(2)∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，

∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1f(2)＝2f(1)－1，

f(3)＝4f(2＋1)＝4f(2)＋f(1)－1＝43f(1)－2＝4，

∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)＜2＝f(1)，

∵f(x)在R上为增函数，

∴a2＋a－5＜1－3＜a＜2，即a∈(－3,2)