Question

7．已知集合A={x|x²-1=0}，B={x|x²-2ax+b=0}，若B≠∅，且A∪B=A，求实数a，b的值．

Answer 1

分析 求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．

解答 解：∵A={x|x²-1=0}={1，-1}，B={x|x²-2ax+b=0}，
∴若B≠∅，且A∪B=A，则B⊆A，
则B={1}，或{-1}，或{1，-1}，
若B={1}，则$\left\{\begin{array}{l}{△=4{a}^{2}-4b=0}\\{1+1=2a}\\{1×1=b}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\\{b={a}^{2}}\end{array}\right.$，成立．此时a=1，b=1．
若B={-1}，则$\left\{\begin{array}{l}△=4{a}^{2}-4b=0\\-1-1=2a\\-1×（-1）=b\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=1\\ b={a}^{2}\end{array}\right.$成立．此时a=-1，b=1．
若B={1，-1}，
则$\left\{\begin{array}{l}△=4{a}^{2}-4b＞0\\-1+1=2a\\-1×1=b\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}-b＞0\\ a=0\\ b=-1\end{array}\right.$，满足条件．
综上a=1，b=1或a=-1，b=1或a=0，b=-1

点评 本题主要考查集合关系的应用，根据条件A∪B=A得B⊆A，以及利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．