题目内容
18．用单调性定义证明函数f（x）=2x在R上是增函数．分析 设x1＜x2，令△x=x2-x1＞0，则x2=x1+△x，代入函数解析式化简f（x1）-f（x2），根据指数的运算判断出符号，由函数单调性的定义即可得到结论．
解答 证明：解：设x1＜x2，△x=x2-x1＞0，则x2=x1+△x，
则f（x1）-f（x2）=${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}$=${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{1}+△x}$
=${2}^{{x}_{1}}（1-{2}^{△x}）$，
∵△x=x2-x1＞0，∴2△x＞1，则1-2△x＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，有f（x1）＜f（x2），
所以 f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．
点评 本题考查函数的单调性的证明，即设值、作差、变形、定号、下结论，考查化简、变形能力，属于中档题．
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