Question

12．求y=x³过点（-1，-1）的切线方程．

Answer 1

分析 ①若（-1，-1）为切点，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=-1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程；
②若不是切点，设出切点坐标，求出切线的斜率，由点斜式写出切线方程，把原点代入切线方程中化简可求出切点的横坐标，把横坐标代入即可求出切点的纵坐标，且得到切线的斜率，即可求出切线方程．

解答 解：y=x³的导数y′=3x²，
①若（-1，-1）为切点，k=3•（-1）²=3，
∴切线l：y+1=3（x+1）即3x-y+2=0；
②若（-1，-1）不是切点，
设切点P（m，m³），k=3m²=$\frac{{m}^{3}+1}{m+1}$，
即2m²+m-1=0，则m=-1（舍）或$\frac{1}{2}$，
∴切线l：y+1=$\frac{3}{4}$（x+1）即3x-4y-1=0．
故切线方程为：3x-y+2=0或3x-4y-1=0．

点评 本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点处的切线方程等基础知识，注意在某点处和过某点的切线，考查运算求解能力．属于中档题和易错题．