Question

18．设5^a=2^b=10，则$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{b}$的值为1．

Answer 1

分析 求出a．b，利用对数的换底公式进行化简即可．

解答 解：∵5^a=2^b=10，
∴a=log₅10=$\frac{1}{lg5}$，b=log₂10=$\frac{1}{lg2}$，
则$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{（\frac{1}{lg5}）^{2}}+\frac{1}{\frac{1}{lg5}×\frac{1}{lg2}}+\frac{1}{\frac{1}{lg2}}$=（lg5）²+lg2lg5+lg2=lg5（lg5+lg2）+lg2=lg5+lg2=1，
故答案为：1

点评 本题主要考查对数的化简，根据指数幂和对数的关系，利用对数的换底公式结合lg2+lg5=1是解决本题的关键．