题目内容

8.在△ABC中,三个内角A、B、C的对边分别是a,b,c,若2cosBcosC=1-cosA,则△ABC形状是等腰三角形.

分析 根据内角和定理和诱导公式可得:cosA=-cos(B+C),利用两角和与差的余弦公式化简式子,再由内角的范围得到结论,即可判断出△ABC的形状.

解答 解:∵2cosBcosC=1-cosA,且A+B+C=π,
∴2cosBcosC=1+cos(B+C),
则2cosBcosC=1+cosBcosC-sinBsinC,
∴cosBcosC+sinBsinC=1,则cos(B-C)=1,
又B、C∈(0,π),∴B-C=0,则C=B
∴△ABC的形状为等腰三角形,
故答案为:等腰.

点评 本题考查两角和与差的余弦公式,内角和定理和诱导公式,注意内角的范围,属于中档题.

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