Question

3．已知圆O：x²+y²=8，点A（2，0），动点M在圆上，则∠OMA的最大值为$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 画出图形，结合图形，利用余弦定理，求出cos∠OMA的最小值，即可得出∠OMA的最大值．

解答 解：设|MA|=a，则|OM|=2$\sqrt{2}$，|OA|=2
由余弦定理知
cos∠OMA=$\frac{{OM}^{2}{+MA}^{2}{-OA}^{2}}{2OM•MA}$
=$\frac{{（2\sqrt{2}）}^{2}{+a}^{2}{-2}^{2}}{2×2\sqrt{2}a}$
=$\frac{1}{4\sqrt{2}}$•（$\frac{4}{a}$+a）≥$\frac{1}{4\sqrt{2}}$•2$\sqrt{\frac{4}{a}•a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当且仅当a=2时等号成立；
∴∠OMA≤$\frac{π}{4}$．
即∠OMA的最大值为$\frac{π}{4}$．
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查了点与圆的位置关系和余弦定理的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是基础题目．