Question

（本小题满分14分）
若函数对任意的实数，，均有，则称函数是区间上的“平缓函数”.  
(1) 判断和是不是实数集R上的“平缓函数”，并说明理由；
(2) 若数列对所有的正整数都有 ，设,
求证： .

Answer 1

(1)不是，理由见解析   (2)见解析

（本小题主要考查函数、绝对值不等式等基础知识，考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）
（1）解：是R上的“平缓函数”，但不是区间R的“平缓函数”；
设，则,则是实数集R上的增函数，
不妨设，则，即，      
则.   ①                           …………… 1分
又也是R上的增函数，则，
即，      ②             ………… 2分
由①、②得   .            
因此,，对都成立.           ……… 3分
当时，同理有成立
又当时，不等式，
故对任意的实数，R,均有.
因此 是R上的“平缓函数”.         ………… 5分
由于                ………… 6分
取，，则，     ………… 7分
因此， 不是区间R的“平缓函数”.             ………… 8分
（2）证明:由（1）得：是R上的“平缓函数”，
则， 所以 .    …………… 9分
而，
∴ .           …………… 10分
∵,……… 11分
∴.           …………… 12分
∴
                ………… 13分
.                ………… 14分