Question

（本小题满分12分）
(1)已知函数f(x)＝2^x－x²，问方程f(x)＝0在区间[－1，0]内是否有解，为什么？
(2)若方程ax²－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，求实数a的取值范围．

Answer 1

(1)　方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有解．(2) (2，＋∞)．

试题分析：
（1）因为第一问中，f(－1)＝2^－1－(－1)²＝－<0，
f(0)＝2⁰－0²＝1>0，结合零点存在性定理可知，结论。
（2）方程ax²－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，即函数f(x)＝ax²－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则只要满足端点的函数值一号即可。
(1)　因为f(－1)＝2^－1－(－1)²＝－<0，
f(0)＝2⁰－0²＝1>0，
而函数f(x)＝2^x－x²的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有解．
(2)∵方程ax²－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，即函数f(x)＝ax²－x－1在(0,1)内恰有一个零点，
∴f(0)·f(1)<0，即－1×(a－2)<0，解得a>2.
故a的取值范围为(2，＋∞)．
点评：解决该试题的关键是根据零点的概念将方程解的问题转换为关于图像与图像的交点问题来处理得到结论。