Question

【题目】已知函数f（x）=x2ax3（a＞0），x∈R.若对任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）f（x2）=1，则a的取值范围是_____.

Answer 1

【答案】

【解析】

由=﹣2ax2+2x，令=0，得，根据对任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）f（x2）=1，分， ，

三种情况讨论f（x1），f（x2）的值域即可.

因为=﹣2ax2+2x，

令=0得，

①：当，即a≥1时，＜0，在x∈[1，+∞）恒成立，所以f（x）在[1，+∞）递减，

∵，，

若对任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）f（x2）=1，

所以f（x1）的值域为（），f（x2）的值域为（），

由f（x1）f（x2）=1得：.

显然，当f（x1）→﹣∞时，→0（负数），故要满足结论，首先需满足：

，，解得.

所以.

②当，即时，f（x1）在（2，+∞）上递减，故此时f（x1），

f（x2）在（1，）递增，在递减，故0.

此时只需即可，解得.

③当，即时，f（x1），f（x2）的最大值都是0，所以能取到所有正实数，

而，故此时不满足题意.

综上，a的取值范围是[].

故答案为：