题目内容
【题目】已知椭圆E:的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为
,点A在椭圆E上,∠F1AF2=60°,△F1AF2的面积为4
.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆E分别交于P,Q两点,证明:点O到直线PQ的距离为定值,并求出这个定值.
【答案】(1)1;(2)证明见解析,
.
【解析】
(1)由面积可得
,再结合余弦定理可得
与
的关系式,由离心率再得一个关系式
,可求得
,得椭圆方程;
(2)射线的斜率不存在时,是椭圆顶点,求出
方程后可得原点到它的距离,当斜率存在且不为零时,设直线PQ为:y=kx+m,P(x,y),Q(x1,y1),直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得
,并计算
,再代入
可得
的关系,当然要注意
,然后由这个关系可求得原点到直线
的距离.
(1)由题意得
sin60°=4
,∴
=16,
再由余弦定理:|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°=(|PF1|+|PF2|)2﹣3|PF1|
|PF2|,
即:4c2=4a2﹣316,∴c2=a2﹣12,又离心率e
,b2=a2﹣c2,∴a2=48,b2=12,
所以椭圆E的方程:1;
(2)证明:当射线的斜率不存在时,由椭圆的对称性得,设P,Q分别是上顶点,右顶点,
则直线OQ为:,即x+2y﹣4
,这时原点到直线PQ的距离d
;
当斜率存在且不为零时,设直线PQ为:y=kx+m,P(x,y),Q(x1,y1),
与椭圆联立得:(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣48=0,△=64k2m2﹣4(1+4k2)(4m2﹣48)>0,
即m2<48k2+12,x+x1=,xx1
,yy1=k2xx1+km(x+x1)+m2
,
由题意OP⊥OQ,∴0,∴xx1+yy1=0,∴5m2=48+48k2,
O到直线PQ的距离d,
综上所述,可证明点O到直线PQ的距离为定值 .
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【题目】某校学生会开展了一次关于“垃圾分类”问卷调查的实践活动,组织部分学生干部在几个大型小区随机抽取了共50名居民进行问卷调查.调查结束后,学生会对问卷结果进行了统计,并将其中一个问题“是否知道垃圾分类方法(知道或不知道)”的调查结果统计如下表:
年龄(岁) | ||||||
频数 | 14 | 12 | 8 | 6 | ||
知道的人数 | 3 | 4 | 8 | 7 | 3 | 2 |
(1)求上表中的的值,并补全右图所示的的频率直方图;
(2)在被调查的居民中,若从年龄在的居民中各随机选取1人参加垃圾分类知识讲座,求选中的两人中仅有一人不知道垃圾分类方法的概率.