题目内容
【题目】已知椭圆
的右顶点为
，左焦点为
，离心率
，过点的直线与椭圆交于另一个点
，且点在
轴上的射影恰好为点，若
．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)过圆
上任意一点
作圆
的切线
与椭圆交于
，
两点，以
为直径的圆是否过定点，如过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)
；（2）以
为直径的圆恒过坐标原点.
【解析】
（1）先根据离心率得
，
，再根据点B在椭圆上得B点纵坐标，最后根据三角形面积公式解得
，即得
，（2）先考虑直线
的斜率不存在情况，确定定点，再利用韦达定理以及向量数量积论证圆过坐标原点.
（1）∵
，∴，，
设
，代人椭圆方程得： 
，
∴
，
∴
，
∴，
∴，
∴椭圆
的标准方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，以为直径的圆的圆心为
或
，半径为2，
以为直径的圆的标准方程为： 
或
，
因为两圆都过坐标原点，∴以为直径的圆过坐标原点，
当直线的斜率存在时，设其方程为
，
，
，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，
，
所以
，
由
，
化简得：
，
∴
，
，
∴
，
∴以为直径的圆过坐标原点，
综上，以为直径的圆恒过坐标原点.
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