题目内容
【题目】已知椭圆:
的离心率为
,直线
被圆
截得的弦长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线
交椭圆
于
,
两点,在
轴上是否存在定点
,使得
为定值?若存在,求出点
的坐标和
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
,
.
【解析】
(1)由椭圆的离心率为
,求得
,再由圆的性质和圆的弦长公式,求得
,进而可求解椭圆的标准方程;
(2)设的方程:
,联立方程组,利用根与系数的关系,求得
,再利用向量的数量积的运算和代数式的性质,即可得到结论。
(1)∵椭圆的离心率为
,∴
,
∵圆的圆心到直线
的距离为
,
∴直线被圆
截得的弦长为
.
解得,故
,∴椭圆
的方程为
.
(2)设,
,
,
当直线与
轴不重合时,设
的方程:
.
由得
,
,
∴,
,
,
当,即
时,
的值与
无关,此时
.
当直线与
轴重合且
时,
.
∴存在点,使得
为定值
.

练习册系列答案
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同意 | 不同意 | 合计 | |
男生 | a | 5 | |
女生 | 40 | d | |
合计 | 100 |
(1)求 a,d 的值;
(2)根据以上数据,能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由;
附:
0.15 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |