题目内容
【题目】已知椭圆
：
的离心率为
，直线
被圆
截得的弦长为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点
的直线
交椭圆于
，
两点，在
轴上是否存在定点
，使得
为定值？若存在，求出点的坐标和的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）
，
.
【解析】
（1）由椭圆
的离心率为
，求得
,再由圆的性质和圆的弦长公式，求得
，进而可求解椭圆的标准方程；
（2）设
的方程：
，联立方程组，利用根与系数的关系，求得
，再利用向量的数量积的运算和代数式的性质，即可得到结论。
（1）∵椭圆的离心率为，∴,
∵圆
的圆心到直线
的距离为
,
∴直线被圆截得的弦长为
.
解得，故
，∴椭圆的方程为.
（2）设
，
，
，
当直线与
轴不重合时，设的方程：.
由
得
，
，
∴
，
，
，
当
，即
时，
的值与
无关，此时
.
当直线与轴重合且时，
.
∴存在点
，使得
为定值.
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【题目】某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，统计情况如下表：
同意 | 不同意 | 合计 | |
男生 | a | 5 | |
女生 | 40 | d | |
合计 | 100 |
（1）求 a，d 的值；
（2）根据以上数据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由；
附：
| 0.15 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
