题目内容
【题目】如图1,在边长为2的菱形中,
,将
沿对角线
折起到
的位置,使平面
平面
,
是
的中点,
⊥平面
,且
,如图2.
(1)求证:平面
;
(2)求平面与平面
所成角的余弦值;
(3)在线段上是否存在一点
,使得
⊥平面
?若存在,求
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)(3)不存在,理由见解析
【解析】
(1)由题设可得,结合平面
平面
,利用面面垂直的性质定理可得
平面
,又
平面
,再利用线面垂直的性质定理,即可得
,再由线面平行的判定定理,即可证得
平面
;
(2)以正交基底建系,写出所需的点的坐标,分别求出平面
与平面
的法向量,代入向量夹角公式,即可求出法向量夹角的余弦值,再结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角,即可得到结果;
(3)假设线段上存点
,使得
平面
,设
,可得
,
,
,只需判断
与平面
的法向量
共线得到关于
的方程是否有解,若有解则存在,无解的则不存在.
(1)证明:因为,
为
的中点,所以
,
又平面
,平面
平面
,平面
平面
,
所以平面
,又
平面
,
所以,而
平面
,
平面
,
所以平面
;
(2)以所在直线为
轴,AE所在直线为
轴,
所在直线为
轴建立空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
所以,
.
设平面的一个法向量为
,
则取
,则
,
又平面ABD的一个法向量为,
所以,
则平面与平面
所成角的余弦值为
.
(3)线段上不存点
,使得
平面
.
假设在线段上存在
,使得
平面
,
设,则
,即
,
所以,
,
,由
,
由,得
,此方程无解.
所以线段上不存点
,使得
平面
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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