题目内容
【题目】已知椭圆
经过点
，右焦点到直线
的距离为3．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点A作两条互相垂直的直线
，
分别交椭圆于M，N两点，求证：直线MN恒过定点
．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
（1）由题可知
值，由右焦点到直线
的距离为3表示
，和 
构建方程组，求得
，即可求得椭圆E的标准方程；
（2）设直线
的方程为
，联立直线方程与椭圆方程，即可表示点M的坐标，由，
垂直，则将M坐标中的k换成
，即可表示N点坐标，再利用两点坐标分别表示
与
，观察即可证明.
（1）由题意知，，
，，
解得
，，
．
所以椭圆的标准方程为．
（2）显然直线，的斜率存在．
设直线的方程为，
联立方程组
，得
，
解得
，
，
所以
，
．
由，垂直，可得直线的方程为
．
用替换前式中的k，可得
，
．
则
，
，
所以
，故直线MN恒过定点
．
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