题目内容
【题目】在如图(1)梯形中,
,过
作
于
,
,沿
翻折后得图(2),使得
,又点
满足
,连接
,且
.
(1)证明:平面
;
(2)求三棱锥外接球的体积.
【答案】(1)见解析; (2).
【解析】
连接
与
交于点
,由线面平行的判定定理知,证明
即可;
在
中,利用余弦定理求出
,利用勾股定理和线面垂直的判定与性质证得
两两互相垂直, 以
为棱,构造长方体,则长方体外接球与三棱锥
的外接球相同,求出对应长方体的外接球的体积即可.
证明:如图:
连接与
交于点
,因为
,则
,
,又
平面
,
平面
,
平面
.
由
,得四边形
为平行四边形,
因为,所以
,
,
所以在中,由余弦定理可得,
,
所以,
又因为,
所以平面
,所以
,
又,
平面
.
以为棱,构造长方体,则长方体外接球与三棱锥
的外接球相同,
所以所求外接球的直径为,
所以球的体积为.
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