Question

【题目】在如图（1）梯形中，，过作于，，沿翻折后得图（2），使得，又点满足，连接，且.

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥外接球的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

连接与交于点,由线面平行的判定定理知,证明即可；

在中,利用余弦定理求出,利用勾股定理和线面垂直的判定与性质证得两两互相垂直, 以为棱，构造长方体,则长方体外接球与三棱锥的外接球相同,求出对应长方体的外接球的体积即可.

证明:如图:

连接与交于点，因为，则

，

，又平面，平面，

平面.

由，得四边形为平行四边形，

因为,所以，，

所以在中,由余弦定理可得,

，

所以，

又因为，

所以平面，所以，

又，平面.

以为棱，构造长方体,则长方体外接球与三棱锥的外接球相同，

所以所求外接球的直径为，

所以球的体积为.