题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,不等式恒成立,试求实数的取值范围.
【答案】(1) 当时,函数在区间上单调递增;当时,函数在区间上单调递增,在区间上单调递减(2)
【解析】试题分析:(1)函数的定义域为..对a分类讨论,明确函数的单调性;
(2)当时,不等式恒成立,即求的最小值大于等于零即可.
试题解析:
(1)函数的定义域为.
.
①时, ,故在区间上单调递增;
②当时,令,得,
令,得,
所以函数在区间上单调递增,在区间上单调递减.
综上所述,当时,函数在区间上单调递增;
当时,函数在区间上单调递增,在区间上单调递减.
(2)当时,由(1),知函数在区间上单调递增,
所以,所以恒成立,即符合题意.
法一:当时,令,
解得: ,
令,解得.
①当时, ,
所以结合(1),知函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,
且 .
令,
恒成立,
又,
所以在区间上单调递增,
所以存在,使得,
即存在,使得,
即当时,不符合题意.
②当时, ,
即在区间上恒成立,
所以函数在区间上单调递减,
所以,
显然不符合题意.
综上所述,实数的取值范围为.
法二:当时,令,
,
所以,取,
故在上, ,
不合题意,舍去.
综上所述,实数的取值范围为.
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