Question

【题目】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1-BCDE．

（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；

（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1-BCDE的体积为36，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）6．

【解析】

试题分析:（1）在折叠前，根据平几知识得BE⊥AC.从而折叠后BE⊥A1O，BE⊥OC，再根据线面垂直判定定理得结果（2）由面面垂直性质定理得A1O⊥平面BCDE，再根据锥体体积公式得关于a的方程，解得a的值．

试题解析：(1)证明：在题图①中，因为AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC.

即在题图②中，BE⊥A1O，BE⊥OC，

从而BE⊥平面A1OC，

又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.

(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，

且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，

又由(1)，A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，

即A1O是四棱锥A1BCDE的高．

由题图①知，A1O＝AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2.

从而四棱锥A1BCDE的体积为V＝×S×A1O＝×a2×a＝a3，由a3＝36，得a＝6.