Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为x²+y²-8x+15=0，直线l的方程为y=kx-2．
（1）若直线l被圆C所截得弦长为2，求直线l的方程；
（2）若直线l上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，求k的最大值．

Answer 1

（1）设直线l被圆C所截得弦长为L，
圆C的方程可化为（x-4）²+y²=1，圆心为C（4，0），半径为r=1，
设圆心C到直线l的距离为d，则d=

|4k-2|

k2+1

，
由垂径定理可知，直线l被圆C所截得的弦长为L=2

r2-d2

，
故由题意，可得2

12-( |4k-2| k2+1 )2

=2，
化简得，k=

1

2

，
则直线l的方程为y=

1

2

x-2；
（2）∵圆C的方程可化为：（x-4）²+y²=1，
∴圆C的圆心为（4，0），半径为1．
∵由题意，直线y=kx-2上至少存在一点A（x₀，kx₀-2），以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点；
∴存在x₀∈R，使得AC≤1+1成立，即AC_min≤2，
∵AC_min即为点C到直线y=kx-2的距离

|4k-2|

k2+1

，
∴

|4k-2|

k2+1

≤2，
解得：0≤k≤

4

3

，
∴k的最大值是

4

3

．