题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，
分别为椭圆
的左，右焦点，直线
过点
与椭圆交于
两点，当直线的斜率为
时，线段
的长为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且与直线垂直的直线
与椭圆交于
两点，求四边形
面积的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）根据离心率可求得
之间关系；可知斜率为
时，
与上顶点重合，设
，结合椭圆定义和
可构造方程求得
，进而得到
，从而求得
，得到椭圆标准方程；
（2）当直线
斜率不存在或斜率为
时，易求得四边形
面积为
；当直线斜率为
时，假设直线方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式可求得
；将
换作
可得到
，进而得到四边形面积
，利用基本不等式可求得最小值，与对比后可得结果.
（1）由题意得：
，
，
.
当直线斜率为时，与上顶点重合，
，，
设，则
，
，即
，解得：
，
，解得：
，
，
椭圆
的方程为.
（2）由（1）知：
.
当直线斜率不存在或斜率为时，四边形面积为；
当直线斜率为时，
设直线的方程为：
，
，
，
则直线
的方程为：
，
将直线代入椭圆的方程得：
，
，
，
将换作可得：
.
四边形面积
（当且仅当
，即
时取等号），
，四边形面积最小值为.
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