题目内容
【题目】某市为了改善居民的休闲娱乐活动场所,现有一块矩形草坪如下图所示,已知:
米,
米,拟在这块草坪内铺设三条小路
、
和
,要求点
是
的中点,点
在边
上,点
在边
时上,且
.
(1)设,试求
的周长
关于
的函数解析式,并求出此函数的定义域;
(2)经核算,三条路每米铺设费用均为元,试问如何设计才能使铺路的总费用最低?并求出最低总费用.
【答案】(1),定义域为
;
(2)当米时,铺路总费用最低,最低总费用为
元.
【解析】
(1)利用勾股定理通过,得出
,结合实际情况得出该函数的定义域;
(2)设,由题意知,要使得铺路总费用最低,即为求
的周长
最小,求出
的取值范围,根据该函数的单调性可得出
的最小值.
(1)由题意,在中,
,
,
,
,
中,
,
,
,又
,
,
所以,即
.
当点在点
时,这时角
最小,求得此时
;
当点在
点时,这时角
最大,求得此时
.
故此函数的定义域为;
(2)由题意知,要求铺路总费用最低,只需要求的周长
的最小值即可.
由(1)得,
,
设,
,
则,
由,得
,
,则
,
从而,当
,即当
时,
,
答:当米时,铺路总费用最低,最低总费用为
元.
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