题目内容

3.已知$\overrightarrow{a}$=(-$\sqrt{3}$,1),$\overrightarrow{b}$=($\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$)且存在实数k和t,使得x=$\overrightarrow{a}$+(t2-3)$\overrightarrow{b}$,y=-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$且x⊥y,试求t3-3t-4k的值.

分析 根据平面向量的坐标运算,求出${\overrightarrow{a}}^{2}$、${\overrightarrow{b}}^{2}$与$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的值,再由$\overrightarrow{x}$⊥$\overrightarrow{y}$,$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{y}$=0,代入化简即可.

解答 解:∵$\overrightarrow{a}$=(-$\sqrt{3}$,1),$\overrightarrow{b}$=($\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$=${(-\sqrt{3})}^{2}$+12=4,
${\overrightarrow{b}}^{2}$=${(\frac{1}{2})}^{2}$+${(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$=1,
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$+1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=0;
又$\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{a}$+(t2-3)$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{y}$=-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$,
且$\overrightarrow{x}$⊥$\overrightarrow{y}$,
∴[$\overrightarrow{a}$+(t2-3)$\overrightarrow{b}$]•(-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$)=0,
即-k${\overrightarrow{a}}^{2}$+[t-k(t2-3)]$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+t(t2-3)${\overrightarrow{b}}^{2}$=0,
∴-k×4+[t-k(t2-3)]×0+t(t2-3)×1=0,
∴t3-3t-4k=0.

点评 本题考查了平面向量的坐标运算以及向量的垂直与数量积的应用问题,是基础题目.

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