Question

14．已知$\root{3}{{2+\frac{2}{7}}}=2\root{3}{{\frac{2}{7}}}，\root{3}{{3+\frac{3}{26}}}=3\root{3}{{\frac{3}{26}}}，\root{3}{{4+\frac{4}{63}}}=4\root{3}{{\frac{4}{63}}}，…，\root{3}{{2015+\frac{m}{n}}}=2015\root{3}{{\frac{m}{n}}}$，
则$\frac{n+1}{m^2}$=2015．

Answer 1

分析 根据所给的式子的特点可得：7=2³-1，26=3³-1，63=4³-1，然后归纳推断出m和n的值，代入式子求值即可．

解答 解：由题意得，$\root{3}{2+\frac{2}{7}}=2\root{3}{\frac{2}{7}}，\root{3}{3+\frac{3}{26}}=3\root{3}{\frac{3}{26}}，\root{3}{4+\frac{4}{63}}=4\root{3}{\frac{4}{63}}，…$
∵7=2³-1，26=3³-1，63=4³-1，
∴m=2015，n=2015³-1，则$\frac{n+1}{{m}^{2}}$=$\frac{201{5}^{3}-1+1}{201{5}^{2}}$=2015，
故答案为：2015．

点评 本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），属于基础题．