Question

11．已知数列{a_n}满足2a_n+1a_n-3a_n+1-a_n+2=0，则n∈N^*，a₁=$\frac{1}{2}$
（1）计算a₂，a₃，a₄；
（2）猜想数列{a₄}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

分析 （1）由于数列{a_n}满足2a_n+1a_n-3a_n+1-a_n+2=0，n∈N^*，a₁=$\frac{1}{2}$．分别令n=1，2，3，可得a₂=$\frac{3}{4}$，a₃=$\frac{5}{6}$，a₄=$\frac{7}{8}$．
（2）由（1）猜想：a_n=$\frac{2n-1}{2n}$．利用数学归纳法证明即可．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足2a_n+1a_n-3a_n+1-a_n+2=0，n∈N^*，a₁=$\frac{1}{2}$．
∴当n=1时，2a₂a₁-3a₂-a₁+2=0，即${a}_{2}-3{a}_{2}-\frac{1}{2}+2$=0，解得a₂=$\frac{3}{4}$．
同理可得：a₃=$\frac{5}{6}$，a₄=$\frac{7}{8}$．
（2）由（1）猜想：a_n=$\frac{2n-1}{2n}$．
下面利用数学归纳法证明．
（i）当n=1时，${a}_{1}=\frac{1}{2}$=$\frac{2×1-1}{2×1}$成立．
（ii）假设当n=k∈N^*时，${a}_{k}=\frac{2k-1}{2k}$成立．
则n=k+1时，有2a_k+1a_k-3a_k+1-a_k+2=0，即$2×\frac{2k-1}{2k}{a}_{k+1}$-3a_k+1-$\frac{2k-1}{2k}$+2=0，
解得a_k+1=$\frac{2（k+1）-1}{2（k+1）}$．
∴当n=k+1时，a_n=$\frac{2n-1}{2n}$成立．
综上可得：?n∈N^*，a_n=$\frac{2n-1}{2n}$成立．

点评 本题考查了数列递推式、数学归纳法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．